Concetti base della Matematica - 5 - L'insieme dei Numeri Naturali

L’INSIEME DEI NUMERI NATURALI
L’Insieme dei Numeri Naturali corrispondono all'insieme {0, 1, 2, 3, 4, …} che sono anche Insieme dei Numeri Interi non negativi {0, +1, +2, +3, +4, …}. In alcuni casi si comprende nei Numeri Naturali anche solo i Numeri Interi positivi {1, 2, 3, 4, …}.

• Numeri naturali {0, 1, 2, 3, 4, …}
• Numeri Interi non negativi {0, +1, +2, +3, +4, …}
• Numeri Interi positivi {1, 2, 3, 4, …}

Simbolo dei Numeri naturali a sinistra; Simbolo dei Numeri Interi a destra

L’INSIEME DEI NUMERI INTERI
Secondo alcuni testi all’insieme dei Numeri Naturali (N) non appartiene lo zero perché appartiene all’insieme dei Numeri Interi (I).  Secondo altri testi lo zero invece è incluso nell’insieme dei Numeri Naturali.

La differenza nelle due interpretazioni deriva dall’utilizzo che si fa dei numeri.

1. Se i numeri naturali vengono utilizzati per “contare”, ovvero si considerano numeri cardinali, allora il loro insieme include anche lo zero. Se infatti per esempio si devono contare il numero di inquilini all’interno di un condominio, è necessario rappresentare anche l’ipotesi che qualche appartamento sia vuoto, che non ci sia nessuno. In questo caso “zero inquilini”.
2. Se i numeri naturali vengono utilizzati per “stabilire un ordinamento”, ovvero si considerano numeri ordinali, si esclude il numero zero. Nello stabilire ad esempio la classifica di una gara ciclistica si considera il 1° classificato, il 2° classificato, il 3° classificato…e così via, ma non si può considerare lo 0° classificato perché non c’è nessuno al 0 posto.

Pertanto,
se nell’insieme dei Numeri Naturali includiamo lo zero, e quindi usiamo questo insieme per “contare”, il simbolo utilizzato è questo

CONCETTO DI INCLUSIONE
L’inclusione è condizione di contenimento di un sottoinsieme da parte di un insieme. Nella Teoria degli Insiemi un insieme, più piccolo e detto sottoinsieme, è incluso in un altro più grande e detto insieme, quando tutti gli elementi di esso fanno parte anche dell’altro.  

Nel disegno sotto abbiamo due insiemi distinti: un insieme A della Nazione Italiana e un insieme B di alcune regioni italiane.

Essendo che le regioni italiane fanno parte della nazione italiana. Ciò significa che l’insieme B è incluso nell’insieme A (disegno sotto).

I simboli dell’inclusione è rappresentato sono i seguenti:

L’ADDIZIONE. UNIONE E INTERSEZIONE DI INSIEMI

• Definizione di Addizione: l’addizione è la somma di due o più numeri interi che si ottiene contando, di seguito al primo, tante unità quante sono quelle del secondo.

I due numeri che vengono addizionati si chiamano addendi o anche termini dell’addizione. In aritmetica il simbolo dell’addizione è una croce greca: “+”.

• Seguendo la rappresentazione grafica del DISEGNO sotto è possibile vedere come la Nazione Italiana sia composta dalle regioni del Nord, del Centro e del Sud. Ciò significa che unendo le regioni delle rispettive aree geografiche si compone (o si ottiene) la Nazione Italiana.Nella Teoria degli Insiemi l’addizione si rappresenta col concetto di unione (simbolo a destra)
• Nella Teoria degli Insiemi l’addizione è un’intersezione tra due o più insiemi

• Disgiunzione e non disgiunzione

Quando due insiemi hanno elementi comuni si chiamano disgiunti
Quando due insieme non hanno elementi comuni si chiamano non disgiunti

Possiamo dunque affermare che: dati tre insiemi disgiunti B,C e D (le regioni del Nord, del Centro e del Sud), la loro Unione è l’insieme A (la Nazione Italiana) che comprende un numero di elementi uguale alla somma degli elementi dell’insieme B, C e D.

• Intersezione

Gli elementi comuni tra due insiemi, cioè gli elementi che appartengono contemporaneamente a entrambi gli insiemi compongono un altro insieme, detto intersezione. 

L’Intersezione la si rappresenta con il simbolo della U rovesciata (disegno a destra)

• Proprietà Commutativa dell’addizione

La somma di due numeri interi non cambia se si cambia l’ordine degli addendi

• A+B = B+A

LA SOTTRAZIONE. INSIEMI COMPLEMENTARI

• Definizione di Sottrazione: la sottrazione è la differenza tra la somma di due numeri e il minore tra loro.

I termini della sottrazione sono: minuendo il primo numero, sottraendo il secondo numero.

• Significato di "complementare": che serve di completamento

Nella Teoria degli Insiemi la sottrazione è rappresentata dalla complementarità ovvero dal sottoinsieme che completa l’insieme di partenza.

Simbolo di complementarità (a destra)

LETTURA DELLA SCRITTURA: B meno A, con A incluso in B

Nella Teoria degli insiemi l’insieme di partenza è detto Insieme Universo.

La differenza tra due sottoinsiemi appartenenti all’Insieme Universo è data dall’insieme degli elementi di A che non appartengono a B. Ovvero:

Avendo come insieme di partenza l’insieme infinito dei numeri, possiamo dire che l'Insieme Universo è scomponibile in due sottoinsiemi: l’insieme dei numeri pari e l’insieme dei numeri dispari.

Pertanto:

• l’insieme dei numeri pari addizionato all’insieme dei numeri dispari dà l’insieme infinito dei numeri;
• togliendo all’insieme infinito dei numeri l’insieme dei numeri dispari, si ottiene l’insieme complementare dei numeri pari;
• togliendo all’insieme infinito dei numeri l’insieme dei numeri pari, si ottiene l’insieme complementare dei numeri dispari.

LA MOLTIPLICAZIONE

• Definizione di moltiplicazione: la moltiplicazione è l’operazione aritmetica che permette di risolvere rapidamente l’operazione di addizione tra molti addenti.

Utilizzando la moltiplicazione al posto dell’addizione infatti, è possibile ottenere la somma di molti addendi anziché sommando un addendo per volta applicando la moltiplicazione.

Un esempio è ciò che succede qui

Se volessimo sapere il numero di stelle raffigurate nel disegno possiamo adottare due tecniche:

1)      contare singolarmente ogni stella (operazione lunga)

2)      osservando che l’insieme delle stelle sono riunite in tre righe, ciascuna delle quali è formata da 5 stelle. Il numero complessivo delle stelle si otterrà dunque effettuando l’operazione 3x5

I TERMINI DELLA MOLTIPLICAZIONE  

• I termini della moltiplicazione sono il moltiplicando (primo termine) e il moltiplicatore (il secondo termine)
• I termini della moltiplicazione si chiamano anche fattori.
• Il risultato della moltiplicazione si chiama prodotto.  

LA PROPRIETÀ COMMUTATIVA
La proprietà commutativa è una proprietà aritmetica che si applica all’addizione e alla moltiplicazione. Essa consiste nel fatto che cambiando l’ordine dei termini, della addizione (addendi) o della moltiplicazione (fattori), il risultato (somma, per l’addizione e prodotto per la moltiplicazione) non cambia.

Ad esempio:

• scrivere 7 + 3 = 10 equivale a scrivere 3 +7 = 10
• scrivere 7 x 3 = 21 equivale a scrivere 3 x 7 = 21

La proprietà commutativa vale se applicata ai numeri naturali, ai numeri relativi e ai numeri razionali

LA DIVISIONE

• Definizione di divisione: la divisione è l’operazione aritmetica opposta alla moltiplicazione.

Infatti se abbiamo:

3 x 5 = 15

• dividendo il prodotto per il moltiplicatore otteniamo il moltiplicando: 15:3 = 5;
• dividendo il prodotto per moltiplicando otteniamo il moltiplicatore: 15:5 = 3.

I termini della divisione sono il dividendo (primo termine), il divisore (secondo termine) e il quoto (il risultato della divisione).

OPERAZIONI ALL’INTERNO DELL’INSIEME DEI NUMERI INTERI

• La addizione è un’operazione interna all’Insieme dei Numeri Interi, perché sommando due numeri interi la somma che si ottiene è ancora un numero intero.
• La sottrazione è un’operazione interna all’Insieme dei Numeri Interi solo quando minuendo e sottraendo sono due numeri interi e il primo è maggiore del secondo.
• La moltiplicazione è un’operazione interna all’insieme dei Numeri Interi, perché il prodotto di due numeri interi è ancora un numero intero.
• La divisione è un’operazione interna all’insieme dei Numeri Interi solo se dividendo e divisore sono due numeri interi e il dividendo è maggiore e multiplo del divisore.

L'UNO E LO ZERO

L’ Uno è l’elemento neutro della moltiplicazione perché moltiplicando un numero intero per uno si ottiene sempre quel numero intero. Ovvero: 5x1 = 5

Lo Zero è l’elemento neutro dell’addizione perché addizionando zero ad un altro numero (di qualsiasi insieme: intero, razionale, irrazionale, relativo) si ottiene sempre quello stesso numero intero. 5 + 0 = 5

-          Principio di annullamento del prodotto

Moltiplicando un qualsiasi numero per zero si ottiene sempre zero. 0x5=0; 5x0=5

COMPORTAMENTO DELLO ZERO NELLA DIVISIONE
Per comprendere il comportamento dello zero all’interno della divisione bisogna distinguere se:

-        Lo zero è il dividendo → 0:1 = 0

-       Lo zero è il divisore → 1:0 = non ha significato. Essendo la moltiplicazione prova della divisione è impossibile dividere per zero un numero qualsiasi, perché non esiste alcun numero che moltiplicato per “0” dia il dividendo

-          0:0 = indeterminato. Questo perché qualsiasi numero moltiplicato per il divisore “0” dia zero 

OPERAZIONI DIRETTE E INDIRETTE (O INVERSE)
Le operazioni fondamentali dell’aritmetica sono 4: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Di queste l’addizione e la moltiplicazione sono operazioni dirette, mentre la sottrazione e la divisione sono operazioni indirette (o inverse).